Sei $\varphi: G \times H \to A$, $G, H, A$ Gruppen, $\varphi_{\mid_{G \times\set{1_H}}}$ und $\varphi_{\mid_{\set{1_G}\times H}}$ jeweils ein Gruppenhomomorphismus, $i: (g,h)\mapsto gh$: \\
$ T \leq S \leq\F X \Rightarrow U := < \lsup{\F X}T > \leq < \lsup{\F X}S > =: V $\\
$\mathop{\Longrightarrow}{\text{1. Iso Satz}}\exists\text{ Epimorphismus }\F X / U \twoheadrightarrow\F X / v $
\item Die endlichen einfachenGruppen sind (durchweg?) von 2 Elementen erzeugt.
\item Sei $G$ Gruppe. Wähle $X = G$, nach universeller Eigenschat $\exists!$ Epimorphismus $\F G \twoheadrightarrow G$ mit Kern $N \Rightarrow G =\F G / N$
Betrachte $H, N \leq G, N \trianglelefteq G \Rightarrow HN = NH, HN \leq G$\\
Sei zusätzlich $HN = G, H \cap N =\set{1}$\\
Sei $n \in N$. Wegen $nHn^{-1}= H$ ist $c_n: H \rightarrow H: h \mapsto\lsup n h = n h n^{-1}$ ein Automorphismus von $H$. \\
$n \mapsto c_n$ ist Gruppenhomomorphismus $N \rightarrow\Aut(H)$.
~
\begin{satz}
Sei $g \in G, c_g: G \rightarrow G: h \mapsto\lsup g h$ Automorphismus von G. Die Menge $\Inn(G) :=\set{ c_g \mid g \in G}\subseteq\Aut(G)$ ist Normalteiler von $\Aut(G)$. \\
$\Out(G) :=\Aut(G)/\Inn(G)$ (Gruppe der äußeren Automorphismen von G) \\
Die Abbildung $c: G \rightarrow Aut(G): g \mapsto c_g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Bild $\Inn(G)$ (klar) und $\ker c = Z(G) :=\set{g \in G \mid gh = hg \forall h \in G}$\\
Also ist $G / Z(G)\cong\Inn(G)$
\end{satz}
\begin{bew}
Sei $g, h_1, h_2\in G$\\
$c_g(h_1 h_2)= g h_1 h_2 g^{-1}= g h_1 g^{-1} g h_2 g^{-1}= c_g(h_1) c_g(h_2)$\\
$c_{g^{-1}}\circ c_g (h)= g^{-1} g h g^{-1} g =1 h 1^{-1}= c_1(h)= id_H $\\
Also ist $c_g$ bijektiv und daher Automorphismus von $G$.
$c: g \rightarrow\Aut(G)$ ist Homomorphismus: \\
$c_{g_1}\circ c_{g_2}(h)= g_1 g_2 h g_2^{-1} g_1^{-1}= g_1 g_2 h (g_1 g_2)^{-1}= c_{g_1 g_2}(h)$\\
\begin{align*}
c_g = id_G &\Leftrightarrow c_g(h) = h \forall h \\
&\Leftrightarrow g h g^{-1} = h \forall h \\
&\Leftrightarrow g h = h g \forall h \\
&\Leftrightarrow g \in Z(G) \\
&\Rightarrow\ker c = Z(G)
\end{align*}
Da $\im c =\Inn(G)$ ist $\Inn(G)\leq\Aut(G)$. \\
Sei $\varphi\in\Aut(G), g \in G$: Zu zeigen: $\varphi\Inn(G)\varphi^{-1}=\Inn(G)\Leftrightarrow\varphi c_g \varphi^{-1}\in\Inn(G)\forall g, \varphi$\\
$(\varphi c_g \varphi^{-1})(h)=\varphi(g \varphi^{-1}(h) g^{-1})=\varphi(g) h \varphi^{-1}(g)=\varphi(g) h \varphi(g)^{-1}= c_{\varphi(g)}(h)\forall h \in G$\\
% Und: $H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} N \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G \Rightarrow H \mathop{\leq}\limits_\text{char.} G$
Seien $K \leq H \leq G$, $K$ charakteristisch in $H$, $H$ char. in $G$. Dann ist
$K$ char. in $G$.
\end{satz}
\begin{bew}% 1.2.4
Sei $\varphi\in\Aut(G)$. Zu zeigen: $\varphi(K)= K$. \\
$\varphi\in\Aut(G)\Rightarrow_{\text{H char. in G}}\varphi(H)(= H \Rightarrow_{\mid_H}\in\Aut(H)\Rightarrow\varphi(K)=\varphi_{\mid_K}= K$, da $K$ char. in $H$ ist.
Also ist $K$ char. in $G$.
\end{bew}
\begin{bem}
Sei $S \subseteq G$ mit $S^{-1}= S$ und $\varphi(S)=\set{\varphi(s)\mid s \in S}= S$ für alle $\varphi in \Aut(G)$ ($\Inn(G)$). Dann ist $<S> \leq G$ char. (normal) in $G$.
\end{bem}
\begin{definition}
Sei $G$ Gruppe, $a, b \in G$. Dann ist $[a,b]= aba^{-1}b^{-1}$ der Kommutator von $a$ und $b$ ($[a,b]ba = aba^{-1}b^{-1}ba = ab$). \\
Die Untergruppe $G' := < [a,b]\mid a, b \in G > \leq G$ heißt Kommutatoruntergruppe von $G$.
\end{definition}
\begin{satz}% 1.2.5
Sei $G$ Gruppe. Dann ist $G'$ char. in $G$ (weil $\varphi[a,b]=[\varphi[a], \varphi[b]]\forall\varphi\in\Aut(G)$ ebenfalls Kommutator ist, und $[a,b]^{-1}=[b, a]$). \\
$G'$ ist der kleinste Normalteiler von $G$, so dass $G / G'$ abelsch ist (d.h. ist $N \trianglelefteq G, G/N$ abelsch $\Rightarrow N \supseteq G'$).
\end{satz}
\begin{bew}
Siehe Algebra. ($\pi: G \rightarrow G/N: g \mapsto gN, \pi[a,b]=[\pi(a), \pi(b)]=\ldots d G/N = N$),
\end{bew}
\begin{definition}
Seien $N, H \leq G, N \trianglelefteq G, G = NH = HN, H \cap N =\set{1}$. dann heißt $G$ (internes) semidirektes Produkt von $N$ mit $H$. Wir schreiben $G = N \rtimes H$.
\end{definition}
Beobachtungen: % 1.2.6
\begin{enumerate}[a)]
\item$ G/N = NH / N \cong H /_{N \cap H}\cong H$. Also ist $G/N \cong H$. Daher ist $\abs{G}=\abs{N}\abs{G/N}=\abs{N} abs{H}=\abs{N \times H}$
\item$G = N \cdot H \Rightarrow\forall x \in G \exists n \in N \exists h \in H: x = n \cdot h $. Diese Darstellung ist eindeutig: denn seien $n_1,n_2\in N, h_1,h_2\in H$ und sei $n_1 h_1= n_2 h_2$,
so folgt $n_2^{-1} n_1= h_2 h_1^{-1}\in N \cap H \Rightarrow n_2^{-1} n_1= h_2 h_1^{-1}=1\Rightarrow n_1= n_2, h_1= h_2$
\item Allgemein gilt: $H, N \trianglelefteq G, H \cap N =\set{1}\Rightarrow hn = nh \forall n \in N, h \in H$, denn seien
$h \in H, n \in N \Rightarrow[n, h]= nhn^{-1}h^{-1}=\mathop{(nhn^{-1})}\limits_{\in H \trianglelefteq G}h^{-1}\in H \cap N =\set{1}$ (die Klammerung analog für $N$) \\
Daher: Ist $G = N \rtimes H$ und zusätzlich $H \trianglelefteq G \Rightarrow G = H \times N$ (da $n_1 h_1 n_2 h_2= n_1 n_2 h_1 h_2$)
\item$G = N \rtimes H, x = n_1 h_1, y = n_2 h_2\in G \Rightarrow x \cdot y = n_1 h_1 n_2 h_2= n_1\mathop{(h_1 n_2 h_1^{-1})}\limits_{\in N \trianglelefteq G} h_1 h_2=(n_1\lsup{h_1}n_2)(h_1 h_2)= n' h' $ die eindeutige Darstellung vom Produkt $ x \cdot y $ als Produkt eines Elementes aus $N$ mit einem Element aus $H$. \\
Die Abb. $\varphi: H \rightarrow\Aut(N): h \mapsto\varphi(h)=\lambda n . \lsup{h}{n}=\varphi_n ={c_n}_{\mid_N}\in\Aut(N)$ ist Gruppenhomomorphismus. \\
\item Multiplikation in $G$ wird vollständig auf die Multiplikation in $N$ und Multiplikation in $H$ und auf $\varphi$ zurückgeführt: $n_1 h_1 n_2 h_2= n_1\varphi_{h_1}(n_2) h_1 h_2$
\item Ist $\varphi: H \rightarrow\Aut(N)$ der triviale Homomorphismus, so ist $\varphi_n ={c_n}_{\mid_N}= id_N$ für alle $h \in H$, d.h. $\varphi_h(n)= h n h^{-1}= n \Leftrightarrow hn = nh$. Dann ist $H \trianglelefteq G und G \cong H \times N$. \\
Daher: Ist $\varphi : H \rightarrow\Aut(N)$\underline{nicht} tirivial, so kann $G$ nicht abelsch sein. ($\varphi(h)=\varphi_h \neq id_N, h\in H, \Rightarrow n \in N: \varphi_h(n)= hnh^{-1}\neq n \Rightarrow hn \neq hn$)
\end{enumerate}
\begin{definition}
Seien $H, N$ Gruppen, und sei $\varphi: H \rightarrow\Aut(N): j \mapsto\varphi(h)=\varphi_h \in\Aut(N)$ ein Homomorphismus. \\
Wir definieren das (äußere) semidirekte Produkt $G = N \rtimes H$ wie folgt: \\
Als \underline{Menge} ist $G$ einfach das kartesische Produkt $N \times H$. \\
Mit obiger Multiplikation wird $G = N \times H$ zur Gruppe $N \rtimes H$ mit Einselement $1_G =(1_N, 1_H)$ und Inverser $(n, h)^{-1}=(\varphi_{h^{-1}}(n^{-1}), h^{-1})$\\
Seien $\tilde{N}= N \times\set{1_H}\subseteq N \times H $ und $\tilde{H}=\set{1_N}\times H \subseteq N \times H$. \\
Dann ist $\tilde{N}\trianglelefteq G, H \leq G, \tilde{N}\cong N, \tilde{H}\cong H$ und $G =\tilde{N}\rtimes\tilde{H}$ (intern).
Für $\tilde{h}=(1_N, h)\in\tilde{H}, \tilde{n}=(n, 1_H)\in\tilde{N}, h \in H, n \in N$ ist $\tilde{h}^{-1}\tilde{n}\tilde{h}=(\varphi_h(n), 1_H)$, d.h. ${c_{\tilde{n}^{-1}}}_{\mid_{\tilde{N}}}\leftrightarrow\varphi_h \in\Aut(N)$
\end{satz}
\begin{bew}
Übung.
\end{bew}
\begin{bem}
Sind $\varphi, \psi$ verschiedene Homomorphismen von $H \rightarrow\Aut(N)$, so können $N \rtimes_\varphi H, N \rtimes_\psi H$ isomorph oder nicht isomorph sein.
\end{bem}
\begin{bsp}
$C_n (\cong(\Z/_{n\Z}, +))= N, H = C_2=\set{1, h}$\\
$\varphi: H \in\Aut(C_n)$ durch $\varphi(1)= id_{C_n}, \varphi_h(x)= x^{-1}$\\
Die Gruppe $D_{2n} := C_n \rtimes_\varphi C_2$ heißt \underline{Diedergruppe} der Ordnung $2n$. \\
$D_{2n}$ ist die Gruppe der Symmetrien eines regelmäßigen $n$-Ecks; $C_n \trianglelefteq D_{2n}$ ist die Gruppe der Rotationen, $C_2= D_{2n}/_{C_n}$ sind die Spiegelungen. \\
$D_{2n}= < x, y \mid x^n = y^2=1, yxy = x^{-1} >$
\end{bsp}
\chapter{Operationen von Gruppen auf Mengen}
Im folgenden sei: $G =$ Gruppe, $X =$ Menge, $\sigma_X =\set{ f : X \rightarrow X \mid f \text{bij. Abb.}}=$ "`symmetrische Gruppe auf X"'.
\begin{definition}
Eine (Links-)Operation von $G$ auf $X$ ist eine (externe) Verknüpfung
$$G \times X \rightarrow X: (g,x)\mapsto gx$$
so dass gilt:
\begin{enumerate}[i)]
\item$1_G \cdot x = x \forall x \in X$
\item$(gh)\cdot x = g \cdot(h \cdot x)$
\end{enumerate}
Wir sagen: "`$G$ operiert auf $X$"' (durch Permutationen) oder kurz: "`$X$ ist $G$-Menge"'. (Analog: Rechtsoperation: $X \times G \rightarrow X$)
\end{definition}
\begin{bem}
Ist $X$$G$-Menge, $\sigma_X$ = symmetrischeGrupe auf $X$, so wird durch $\lambda: G \rightarrow\sigma_X: g \mapsto\lambda_g \in\sigma_X$ ein Gruppenhomomorphismus
$\lambda$ definiert, wobei $\lambda_g: X \rightarrow X: x \mapsto g \cdot x$; denn: \\
Sei $g \in G: \lambda_g \lambda_{g^{-1}} : x \mapsto g (g^{-1} x)=(g g^{-1}) x =1_G x = x \forall x \in X$, also ist $\lambda_g$ bijektiv und $\in\sigma_X$. \\
Seien $g, h \in G \Rightarrow\lambda_g \circ\lambda_h (x)=\lambda_g (\lambda_h(x))= g \cdot(h \cdot x)=(g \cdot h)\cdot x =\lambda_{gh}(x)\forall x \in X \Rightarrow\lambda_g \lambda_h =\lambda_{gh}$, d.h. $\lambda$ ist Homomorphismus. \\
\underline{Umgekehrt:} Sei $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$ homomorph. Dann wird durch $g \cdot x :=(\varphi(g))(x)$ eine Operation von $G$ auf $X$ definiert, mit $\lambda=\varphi$ (Beweis: Übung). \\
$\lambda$ heißt "`die zur $G$-Menge $X$ gehörende \underline{Darstellung} von $G$"'. \\
\underline{Also:} Das Konzept der $G$-Mengen $X$ ist äquivalent zum Konzept der Homomorphismen $G \rightarrow\sigma_X$. \\
(Im Falle der Rechtsoperation: Entweder op $\sigma_X$ auch von rechts, oder die zug. Darst. $\rho: G \rightarrow\sigma_X$ ist ein Antihomomorphismus)
\end{bem}
{\it Beispiele:} (Running Gag) % 1.3.1
\begin{enumerate}[1.)]
\item$\sigma_X$ operiert auf $X$ mit Darstellung $id_{\sigma_X} : \sigma_X \rightarrow\sigma_X: \pi\mapsto\pi\in\sigma_X, \pi x =\pi(x)\forall x \in X$
\item$G$ operiert auf der Menge $G$ durch Linkstranslation $ g \cdot h = g h$. \\
\underline{Darstellung:}$\lambda G \rightarrow\sigma_G: g \mapsto\lambda_g; \lambda_g: h \mapsto gh \forall h \in G$\\
Wir definieren eine Operation von $G$ auf der \underline{Menge}$G / H$ der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch: $g (g_i H)= g_j H$ (bzw. auf $I: g \dot i = j$) \\
(Linkstranslation auf $G/H$, Rechtsnebenklassen $H \without G$ durch Rechtstranslation) \\
Spezialfall: $H =(I)\Rightarrow$ Operation von $G$ auf $G / H = G /(I)= G$ aus 2.)
\end{enumerate}
4.) ist die Mutter aller $G$-Operationen auf Mengen.
\begin{definition}
Eine Operation von $G$ auf $X$ heißt \underline{treu}, falls gilt: Ist $gx = x \forall x \in X \Rightarrow g =1$.
Offensichtlich heißt dies für die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$, dass $\varphi$ injektiv ist;
denn $gx = x \forall x \in X \Leftrightarrow(\varphi(g))(x)= x \forall x \in X \Leftrightarrow\varphi(g)= id_X \Leftrightarrow g \in\ker\varphi$\\
So: $\ker\varphi=\set{g \in G \mid gx = x \forall x \in X }.$
\end{definition}
{\it Beispiele:}% aus 1.3.1
1.), 2.) treu, da $g \cdot h = h \forall h \in G \Leftrightarrow g =1$\\
3.) (i.A.) nicht treu. Genauer: $\ker\varphi=\ker c_? =\set{g \in G \mid c_g = id_G }=\set{g \in G \mid c_g(h)= h \forall h \in G }=\set{g \in G \mid g hg^{-1}= h \forall h \in G}= Z(G)$ Zentrum von $G$.
\underline{Klar:}$X$ treue $G$-Menge, so enthält $\sigma_X$ durch die zugehörige Darstellung $\varphi: G \rightarrow\sigma_X$ eine zu $G$ isomorphe Untergruppe.
\begin{definition}
Seien $X, Y$$G$-Mengen. Eine Abbildung $\varphi: X \rightarrow Y$ heißt $G$-Homomorphismus (auch $G$-equivariant) falls gilt: \\
$\forall x \in X, g \in G: \varphi(g, x)= g \varphi(x)$\\
\underline{Wie üblich}: Epi-, Mono- und Isomorphismen. \\
Komposition (und Inversen falls bijektiv) sind wieder Homomorphismen. \\
Isosätze etc. \\
Also: Kategorie der $G$-Mengen.
\end{definition}
\underline{Übersetzung für Darstellungen}:\\
Seien $\varphi: G \rightarrow\sigma_X, \psi: G \rightarrow\sigma_Y$ ($X, Y$ Mengen) Darstellungen. \\
Ein Morphismus von $\varphi$ nach $\psi$ ist eine Mengenabbildung $f: X \rightarrow Y$, so dass $\forall g \in G$ das folgende Diagramm kommutiert:
\begin{diagram}
X &\rTo^{f}& Y \\
\dTo^{\varphi(g)}&&\dTo_{\psi(g)}\\
X &\rTo^{f}& Y
\end{diagram}
d.h. $f \circ\varphi(g)=\psi(g)\circ f \Leftrightarrow\psi(g)\circ f \circ\varphi(g)^{-1}= f \forall g \in G$
Dies macht die Klasse der (Permutations-) Darstellungen zu einer Kategorie. Diese ist isomoprh zur Kategorie der $G$-Mengen (Beweis: Übung).
\underline{Ziel:} Klassifikation von $G$-Mengen.
\begin{definition}
$X, Y$$G-$ Mengen:
\begin{enumerate}[a)]
\item Die disjunkte Vereinigung $X \mathop{\cup}\limits^{\cdot} Y$ wird zur $G$-Menge durch $g \cdot z =\left\{\matr{gx &\text{für } z = x \in X \\ gy &\text{für } z = y \in Y}\right. $\\
("`direkte Summe"', "`Koprodukt"' in Kategorie der $G$-Mengen)
\item Das kartesische Produkt $X \times Y$ wird zu $G$-Menge durch $g \cdot(x,y)=(gx, gy)\forall x \in X, y \in Y, g \in G$
\item$\sigma_X$ wird $G$-Menge durch $gZ =\set{gz \mid z \in Z}$ für $Z \subseteq X$
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}% 1.3.3
Sei $X$ eine $G$-Menge, $x \in X$. Die \underline{Bahn} (Orbit) $Gx (\lsup{G}x)$ ist $\set{gx \mid g \in G}\subseteq X$, und der Stabilisator $Stab_G(x)$ in $G$ von $x$ ist $\set{g \in G \mid gx = x}\subseteq G$. \\
Für $S \subseteq G$ ist der $Stab_G(X)=\set{g \in G \mid gs \in S \forall s \in S }$\\
Der \underline{Punktstabilisator} von $S$ in $G$ ist $PStab_G(S)=\set{g \ in G | gs = s \forall s \in S}=\bigcap\limits_{s \in S} Stab_G(s)$\\
\underline{Klar:}
\begin{enumerate}
\item$Stab_G(x), Stab_G(S), PStab_G(S)$ sind Untergruppen von $G$.
\item Die Einschränkung von der $G$-Operation auf die Bahn $Gx$ macht die Bahn $Gx$ von $x$ zur $G$-Menge. \\
Wir definieren eine Äquivalenzrelation $\sim_G$ auf $X$ durch $x \sim_G y \Leftrightarrow\exists g \in G: y = gx$\\
Die Äquivalenzklasse von $x \in X$ ist die Bahn $Gx$. \\
Konsequenz: $X$ ist die direkte Summe der Bahnen von $G$ auf $X$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{definition}
$G$ operiert (einfach) \underline{transitiv} auf $X$, falls nur eine Bahn existiert, d.h. $\forall x, y \in X: \exists g \in G: x = g y$.
\end{definition}
{\it Beispiele:} von 1.3.1
\begin{enumerate}[A)]
\item Bahnen:
\begin{enumerate}[1.)]
\item$G$ ist die einzige Bahn.
\item$\forall h_1, h_2\in G \exists g \in G: h_2= g h_1: g := h_2 h_1^{-1}$, also: $G$ ist die einzige Bahn.
\item$g \sim_G h \Leftrightarrow\exists x in G: h = x g x^{-1}\Leftrightarrow g$ und $h$ sind konjugiert $\Leftrightarrow$ Bahnen sind Konjugationsklassen.
\item Eine Bahn. $g,h \in G \Rightarrow\exists x \in G: h = xg \Rightarrow hH = xgH$
\end{enumerate}
\item Stabilisatoren:
\begin{enumerate}[1.)]
\item$x \in X: Stab_{\sigma_X}(x)=\set{\pi\in\sigma_X \mid\pi(x)= x }=\sigma_{X \without\set{x}}$, z.Bsp. $Stab_{\sigma_n}(n)=\sigma_{n-1}$\\
$Stab_{\sigma_n}(\set{1, \ldots, i})=\set{\pi\in\sigma_n | 1\leq\pi(j)\leq i \forall1\leq j \leq i }=\sigma_{\set{1, \ldots, i}}\times\sigma_{\set{i+1, \ldots, n}}$
\item$h \in G: Stab_G(h)=\set{g \in G \mid gh = h}=\set{1}$
\item$h \in G: Stab_G(h)=\set{g \in G \mid\lsup{g}{h}= h}=\set{g \in G \mid ghg^{-1}= h}=\set{g \in G \mid gh = hg }=$ Zentralisator von $h$ in $G$.
\item Spezialfall $Stab_G(1\cdot H)=\set{ g \in G \mid gH = H}= H$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{lemma}
Sei $X$$G$-Menge, $x \in X, g \in G$: Dann ist $Stab_G(gx)= g \cdot Stab_G(x()\cdot g^{-1}$ ("`konjugierte Untergruppe"')
\end{lemma}
\begin{bew}
"`$\supseteq$"' Sei $h = gfg^{-1}\in$ rechte Seite $\Rightarrow h(gx)= gfg^{-1}gx = gfx = gx \Rightarrow h \in$ linke Seite.
"`$\subseteq$"' Sei $h \in Stab_G(gx)$, d.h. $h(gx)= gx \Rightarrow g^{-1}hgx = x \Rightarrow g^{-1} h x = f \in Stab_G(x)\Rightarrow h = g f g^{-1}\in g Stab_G(x) g^{-1}$
\end{bew}
{\it Beispiele:} von 1.3.1, Stabilisator für 4.): \\
$ Stab_G(xH)= x H x^{-1}$
Neues Beispiel für 1.3.1:
\begin{enumerate}
\item[5.)] Sei $X =\set{H \leq G}$. Dann operiert $G$ auf $X$ durch Konjugation $lsup{g}{H}= g H g^{-1}$\\
$Stab_G(H)=\set{g \in G \mid g H g^{-1}= H }= N_G(H)$ der \underline{Normalisator} von $H$ in $G$ (die größte Untergruppe von $G$ in der $H$ normal ist, $H \trianglelefteq N_G(H)\leq G$)
\end{enumerate}
\begin{bem}
Bahnen sind in 5.) Konjugationsklassen von Untergruppen. \\
Beachte: $\abs{c_g(H)}=\abs{gHg^{-1}}=\abs{H}$
\end{bem}
\begin{satz}% 1.3.5
Jede $G$-Menge ist (eindeutig) disjunkte Vereinigung (direkte Summe) von transitiven $G$-Mengen, nämlich der Bahnen von $G$ auf der Menge.
Sei $X$ transitive $G$-Menge und $x \in X, H = Stab_G(x)$. Dann ist $X \cong G / H$ ($= G$-Menge der Nebenklassen von $H$ in $G$ durch Linkstranslation, siehe Beispiel 4. aus 1.3.1)
Definiere $\varphi: G/H \rightarrow X: gH \mapsto g x$ für $g \in G$.
\begin{enumerate}[1.)]
\item$\varphi$ ist wohldefiniert: Denn sei $gH = fH \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow f^{-1}gx = x$, da $H = Stab_G(x)$ ist $\Rightarrow gx = fx$
\item Umgekehrt gehts auch: Sei $fx = gx$ ($f, g \in G$) $\Rightarrow x = f^{-1}gx \Rightarrow f^{-1}g \in H \Rightarrow gH = fH$ Also ist $\varphi$ injektiv.
\item Wegen $G \cdot x = X$ ist $\varphi$ surjektiv.
\item Seien $a, g \in G:$ Dann ist $a \varphi(gH)= a(gx)=(ag)x =\varphi(agH)$, also ist $\varphi$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen.
\end{enumerate}
\end{bew}
\begin{korr}% 1.3.7
$\abs{X}=\abs{G/H}=\left[G : H \right]$\\
\underline{Allgemein}: Sei $X$$G$-Menge, $x \in X \Rightarrow\abs{Gx}=\abs{G : Sta_G(x)}$ (Bahngleichung)
\end{korr}
Wir haben jetzt is aus Isomorphie alle $G$-Mengen konstruiert, nämlich als disjunkte Vereinigunge (direkte Summen) von $G$-Mengen der Form $G/H$ mit $H \leq G$. \\
\underline{Frage:} Sind $H, K \leq G$. Wann ist $G/H \cong G/K$ als $G$-Menge (unter Linkstranslation)?
\begin{lemma}% 1.3.8
Seien $X, Y$$G$-Mengen, $\varphi:X \rightarrow Y$ Homomorphismus, und sei $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)\leq\Stab_G(\varphi(x)$\\
Insbesondere: ist $\varphi$ ein Isomorphismus, so ist $\Stab_G(x)=\Stab_G(\varphi(x))$.
\end{lemma}
\begin{bew}
$g \in G: gx = x \Rightarrow g (\varphi(x))=\varphi(gx)=\varphi(x)\Rightarrow g \in\Stab_G(\varphi(x))$
\end{bew}
\begin{satz}% 1.3.9
Seien $H, K \leq G$. Dann ist $G/H \cong G/K \Leftrightarrow H \mathop{=}_G K$ (d.h. $\exists g \in G: gKg^{-1}= H$).
\end{satz}
\underline{Bemerkung:} 1.3.6 + 1.3.9 liefert die Klassifikation der $G$-Mengen.
\begin{bew}
Sei $\varphi: G/H \rightarrow G/K$ ein Isomorphismus von $G$-Mengen,
$(\exists x \in G): varphi(1\cdot H)= xK \Rightarrow\Stab_G(1\cdot H)= H =\Stab_G(xK)= x\Stab_G(1\cdot K) x^{-1}= xKx^{-1}$. Also ist $H =_G K$. \\
Umgekehrt ist $H =_G K$, etwa $K = x H x^{-1}$. Dann ist (nach 1.3.4) $K =\Stab_G(xH)$, und $G/K \cong G/H$ nach 1.3.6
\end{bew}
\begin{definition}
Sei $k \in\N, X$$G$-Menge. Dan heißt $X$$k$-fach transitiv ($k$-trans.) falls gilt: Sind $x_1, \ldots, x_k \in X$ und $y_1, \ldots, y_k \in X$ jeweils beliebige aber paarweise verschieden, so gibt es $g \in G: y_i = g x_i \forall1\leq i \leq k$\\
(Klar: $G$ operiert auf $X^{\times k}= X \times\ldots\times X$ k-trans. $\Leftrightarrow G$ operiert auf $\set{(x_1, \ldots, x_k)\in X^{\times k}\mid x_i \text{ paarweise verschieden}}$ transitiv. 1-transitiv = transitiv)
\end{definition}
\begin{satz}% 1.3.10
Sei $X$ 2-transitive $G$-Menge, $x \in X$. Dann ist $\Stab_G(x)$ maximale Untergrupe von $G$.
\end{satz}
\begin{bew}
2-transitiv $\Rightarrow X$ ist transitiv $\Rightarrow X \cong G/H$ für $H =\Stab_G(X)$. Angenommen, $H$ st nicht maximal in $G$. Sei $H < K < G, g \in G, g \notin K, k \in K, k \notin H$.
Dann ist $kH \neq H, gH \neq H$. Wir hben also zwei Paare $(H, kH)$ und $(H, gH)$. 2-transitiv $\Rightarrow\exists f \in G: f \cdot(1 H)=(1 H), f (k H)= g H \Rightarrow f \in H \Rightarrow fk \in K
\Rightarrow\exists h \in H: fk = gh \Rightarrow K = f k K = g h K = g K \Rightarrow g \in K$ Widerspruch!
\end{bew}
\begin{definition}
Eine transitive $G$-Menge X heißt primitiv $\Leftrightarrow\forall x \in X: \Stab_G(x)$ maximale Untergruppe von $G$ ist.
Eine transitive $G$-Menge $X$ ist primitiv $\Leftrightarrow$ wenn gilt: Sei $Y \subsetneq X, \abs{Y}\geq2$. Dann gibt es für alle $g \in G$ Elemente $y,z \in Y$ mit $gy \in Y, gz \notin Y$.
Sei $X = G/K$ eine $G$-Menge. Durch Einschränken ist $G/K$ auch $H$-Menge. \\
Sei $H_K$ die Bahn von $K =1\cdot K$ unter dieser $H$-Operation. \\
Klar: $H_K =\set{hK \mid h \in H}, H K =\mathop{\cup}\limits_{h \in H} h K$. \\
Also ist $HK$ die Vereinigung von $K$-Nebenklassen von $G$ mit Vertretern aus $H$. \\
Also ist $\abs{HK}=\abs{\lsup{H}{K}}\cdot\abs{K}$. Nach 1.3.7 ist $\abs{\lsup{H}{K}}=\abs{H : \Stab_H(K)}$\\
$\Stab_H(K)=\set{h \in H \mid hK = K}= K \cap H$. \\
Also ist $\abs{HK}=\abs{K}\cdot\abs{\lsup{H}{K}}=\abs{K}\cdot\abs{H : \Stab_H(K)}=\abs{K}\cdot\abs{H : (H \cap K)}=\abs{K}\cdot\frac{\abs{H}}{\abs{H \cap K}}$
\end{bew}
\underline{Konjugationsop:}$\abs{G}= n \in\N, 1= g_1, g_2, \ldots, g_k$ seien Vertreter der Konjugationsklassen von $G$. \\
$\cC_i :=\lsup{G}{g_i}=\set{g g_i g^{-1}\mid g \in G}$ Bahn \\
$C_i =\Stab_G(g_i)= C_G(g_i)=\set{h \in G \mid h g_i = g_i h}\leq G$\\
\begin{satz}% 1.3.13
\underline{Klassengleichung:} Sei $\abs{G}= n$. \\
$ n =1+\sum_{i=2}^{k}\abs{G : C_i}=\abs{Z(G)}+\sum\limits_{i=1,\ldots,k, g_i \notin Z(G)}\abs{G : C_i}$
\end{satz}
\begin{bew}
Ohne Einschränkung: $Z(G)=\set{g_1, \ldots, g_l}, 1\leq l \leq k \Rightarrow C_i = G \forall i =1, \ldots, l, \cC_i =\set{g_i}$\\
Mit 1.3.7 $\mathop{\Rightarrow}\limits_{i=1, \ldots, k}\abs{\lsup{G}{g_i}}=\abs{\cC_i}=[G:C_i]=[G:\Stab_G(g_i)]$
\end{bew}
\begin{definition}
Sei $G$ endliche Gruppe, $G^1=[G, G]$. Definiere $D^{i}(G)(i \in\N)$ durch
\begin{enumerate}
\item$D^1(G)= G^1$
\item$i > 1: D^i(G)=[D^{i-1}(G), D^{i-1}(G)]$
\end{enumerate}
Klar: $D^i(G)\trianglelefteq D^{i-1}(G)$ und $D^{i-1}(G)/D^i(G)$ abelsch. \\
$G$ heißt auflösbar, falls $D^k(G)=(1)$ für ein $k \in\N\Leftrightarrow\exists(1)= N_1\leq N_2\ldots\leq N_m = G$ mit $N_i \trianglelefteq N_{i+1}$ und $N_{i+1}/N_i$ abelsch (zyklisch, zyklisc von Primzahlordnung nach Korrespondenzsatz). \\
Kann man zusätzlich $N_i$ so wählen, dass $N_i \trianglelefteq G$ ist, so heißt $G$ Überauflösbar ("`supersolvable"'). \\
\item Brunside's $pq$-Theorem: Seien $p, q$ Primzahlen, $\abs{G}= p^a \cdot q^b, a, b \in\N\Rightarrow G$ ist auflösbar.
\item Feit-Thompson: Ist $2\nmid\abs{G}\Rightarrow G$ ist auflösbar.
\end{enumerate}
\end{bem}
\underline{Beachte:} Sei $H \leq G$. Dann ist $H \trianglelefteq G \Leftrightarrow H$ ist Vereinigung von (disjunkten) Konjugationsklassen von $G$; denn
$gHg^{-1}= H \forall g \in G$ gilt genau dann, wenn $\forall h \in H, g \in G: c_g(h)= ghg^{-1}\in H$, d.h. $\lsup{G}{h}\subseteq H$. Daher ist
$\abs{H}=\sum\limits_{g_i \in H}\abs{C_i}$% i ) 1, \ldots, k
\underline{Erinnerung:} Sei $H \leq G$. Dann ist $N_g(H)=\set{g \in G \mid gHg^{-1}= H}\leq G$ und $H \trianglelefteq N_G(H)=$ die eindeutig bestimmte größte Untergruppe von $N$,
in der $H$ normal ist. $H \trianglelefteq G \Leftrightarrow N_G(H)= G$.
\begin{satz}% 1.3.15
Sei $\abs{G}= n < \infty$, und sei $H \leq G$. Sei $\mathcal{A}=\set{gHg^{-1}\mid g \in G}$. Dann ist $\abs{\mathcal{A}}=\abs{G : N_G(H)}$.
\end{satz}
\begin{bew}
$G$ operiert auf $\sigma(G)$ ($\set{K \leq G}$) per Konjugation, und $\mathcal{A}$ ist gerade die Bahn $\lsup{G}{H}$ von $H$ unter dieser Operation.
$N_G(H)=\Stab_G(H)$. So folgt die Behauptung aus 1.3.7.
\end{bew}
\begin{definition}
$H, K \leq G, z \in G$. Dann heißt $HzK =\set{hzk \mid h \in H, k \in K}$ die $H$-$K$-Doppelnebenklasse von $z$. \\
Definiere $\sim$ auf $G$ durch $, y \in G$, so ist $x \sim y \Leftrightarrow\exists h \in H, k \in K: y = hxk$
\begin{enumerate}[i)]
\item$ x =1_H x 1_K \Rightarrow x \sim x \forall x \in G$
\item$ y = hxk \Rightarrow x = h^{-1}yk^{-1}\Rightarrow$ Symmetrie
\item$ y = h_1 x k_1, z = h_2 y k_2\Rightarrow z = h_2 h_1 x k_1 k_2\Rightarrow x \sim z$
\end{enumerate}
Also ist $G$ disjunkte Vereinigung der $H$-$K$-Doppelnebenklassen.
\end{definition}
\underline{Klar:}$HzK =\bigcup\limits_{h \in H} hzK =\bigcup\limits_{k \in K} Hzk$ ist (disjunkte) Vereinigung von $K$-Links- bzw $H$-Rechtsnebenklassen in $G$.
\begin{satz}% 1.3.16
Sei $\abs{G}= n < \infty, H, K \leq G$ und $\in G$. Dann gilt: \\
Das kommt nicht von unefähr: Ist $h_1=1, h2, \ldots,h_l \in H$ ein Vertretersystem der Linksnebenklassen von $H \cap zKz^{-1}$ in $H$, d.h. $H =\mathop{\cup}\limits^{\bullet} h_i (H \cap zKz^{-1}$,
so ist $HzK =\bigcup\limits_{j=1, \ldots, l}^{\bullet} h_i z K$. Analog $K =\bigcup\limits_{j=1, \ldots, m}^{\bullet}(z^{-1}Hz \cap K)\cdot k_j, HzK =\bigcup\limits_{j=1, \ldots, m}^{\bullet} Hz k_j $
\end{satz}
\underline{Beweisidee:}$h \in H \cap zKz^{-1}\Leftrightarrow\exists k \in K: h = zkz^{-1}\Leftrightarrow hzK = zkz^{-1}z K = zkK = zK \Rightarrow h_i (z^{-1}H \cap K) zK= h_i zK$, Details Übung.
\item 2. Beweis: $G$ operiert auf $G / K$ wie üblich, also auch $H$ durch Einschränkung. $HzK$ ist die Vereinigung der Nebenklassen, die in $\lsup{H}{zK}$ liegen. Daher ist $\abs{HzK}=\abs{K}\cdot$ Bahnlänge $\abs{\lsup{H}{zK}}$. Nun ist $\Stab_H(zK)=\set{h \in H \mid hzK = zK}$. Aber $hzK = zK \Leftrightarrow z^{-1}hz = k \in K \Leftrightarrow h = zkz^{-1}$ ist $\exists k \in K$. \\
Also ist $\Stab_H(zK)= H \cap zKz^{-1}\mathop{\Rightarrow}\limits^{\text{1.3.7}}\abs{HzK}=\abs{K}[H : H \cap zKz^{-1}]=\frac{\abs{H}\cdot\abs{K}}{\abs{H \cap zKz^{-1}}}$
\end{enumerate}
\end{bew}
% \part{Lineare Gruppen}
$F$ ist ein Körper, $n \in\N, G =\GL_n(F)\cong\Aut_F(V), v = F$-Vektorraum mit $\dim_F(V)= n$\\
Eine Permutationsmatrix $A \in M_{n \times n}(F)$ ist eine Matrix, die in jeder Spalte und Zeile genauen einen von 0 verschiedenen Eintrag hat, der 1 ist. \\
Sei $A$ Permutationsmatrix. Definiere $\pi: \set{1, \ldots, n}\rightarrow\set{1, \ldots, n}$ durch $\pi(i)= j \Leftrightarrow A_{\pi(i)j}=1$.
\end{definition}
Also ist $\pi\mapsto E_\pi$ eine Bijektion von $\sigma_n$ in $W :=\set{\text{Permutationsmatrizen}}$.
Seien $\sigma, \pi\in\sigma_n$. Dann ist $E_\pi\cdot E_\sigma=(\sum_{i=1}^n e_{\pi(i)i})(\sum_{j=1}^n e_{\sigma(j)j})=\sigma_{i,j} e_{\pi(i)i} e_{\sigma(j)j}
Ist $E_\pi$ Permutationsmatrix zu $\pi\in\sigma_n, M \in F^{n \times n}$, so entsteht $\pi\cdot M = E_\pi M$ aus $M$ durch entsprechende Zeilenpermutationen und $M \pi$ durch
entsprechende Spaltenpermutationen. \\
$\sigma_n$ operiert auf der natürlichen Basis $\xi\rightsquigarrow\xi_\pi=(e_{\pi(1)}, \ldots, e_{\pi(n)})$.
\end{bem}
\begin{definition}
Sei $1\leq i,j \leq n, i \neq j$, und sei $\alpha\in F$. Dan sei $x_{ij}(\alpha)\in F^{n \times n}$ die entsprechende Elementarmatrix $A =(\alpha_{st})$ mit
$\alpha_{st}=\left\{\matr{1&\text{für } s = t \\\alpha&\text{für } s = i, t = j \\0&\text{sonst}}\right.$\\
$x_{ij}(\alpha)=\pmatr{1&&\alpha\\&\ddots&\\&&1}, \alpha$ an Position $i,j$\\
Die Matrizen $x_{ij}(\alpha)$ und ihre $G$-konjugierten heißen Transvektionen. \\
\underline{Beachte:}$x_{ij}(\alpha)\cdot M$ entsteht aus $M$ durch Addition von Reihe (Saplte) $j$ mal $\alpha$ zu Zeile (Spalte) $i$ ($M \cdot x_{ij}(\alpha)$.
\end{definition}
\begin{lemma}% 2.1.4
Seien $\alpha, \beta\in F, i \neq j, \pi in W$
\begin{enumerate}[i)]
\item$\det(x_{ij}(\alpha))=1$, also ist $x_{ij}(\alpha)\in\Omega_n(F)\leq\GL_n(F)$.
\item Ist $\alpha\neq0$, so ist $x_{ij}(\alpha)\in B \Leftrightarrow i < j$. ($U \leq B$)
$\Rightarrow\pi x_{ij}(\alpha)\pi^{-1}=\pi(E +\alpha e_{ij})\pi^{-1}=\pi E \pi^{-1}+\alpha\pi e_{ij}\pi^{-1}= E +\alpha e_{\pi(i)\pi(j)}= x_{\pi(i)\pi(j)}(\alpha)$
\end{enumerate}
\end{bew}
\underline{Ziel:}$G =\bigcup\limits_{w \in W}^{\bullet} BwB$, insbesondere: es gibt $n!$ viele $B$-$B$-Doppelnebenklassen in $G$ ($U$-$B$-, $B$-$U$-). "`Bruhat-Zerlegung"'
\begin{lemma}% 2.1.5
Sei $M \in G$. Dann gibt es ein $b \in B (U)$ so, dass gilt: \\
Für $1\leq i \leq n$ gibt es eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $b \cdot M$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene Eintrag in ihr ist,\\
und $\set{k_1, \ldots, k_n}=\set{1, \ldots, n}$; $i \mapsto k_i \in\sigma_n$.
\end{lemma}
\begin{bew}
Die 1. Spalte von $M$ kann nicht die 0-Spalte sein $\Rightarrow\exists k_1$ so, dass Eintrag $k_i$ in $M =(\alpha_{rs})$ ungleich 0 aber $\alpha_{r1}=0$ für $r > k_1$ ist. (Der letzte von 0 verschiedene Eintrag in der Spalte). \\
Durch elementare Zeilentransformationen ($x_{1,l}(\frac{-\alpha_{l,1}}{\alpha_{k_11}})$, $l < k_1$) aus $U$ kann man $M'$ erhalten, in der $k_i$ der einzige von 0 verschiedene Eintrag in der 1. Spalte ist. \\
Streiche 1. Spalte und $k_1$-te Zeile und arbeite induktiv weiter.
$w = x_{ji}(1)x_{ij}(-1)x_{ji}(1), w e_k =\left\{\matr{e_n &\text{für } k \neq i, k \neq j \\ e_j &\text{für } k = i \\- e_i &\text{für } k = j}\right.$
$L_f =\set{\text{Matrix mit von 0 verschiedenen Blöcken der Größen }v_i \times v_i\text{ auf der Diagonale aus } G}$\\
...
$ v =(v_1, \ldots, v_k)\vDash n $ Wir schreiben $P_v = U_v \rtimes L_v$ anstatt $P_f, L_f, U_f$. ($\nu=(n)\Rightarrow P_{(n)}= G = L_{(n)}, U_{(n)}=(1)$) \\
\underline{Sonderfall:}$v =(1^n)=(1, \ldots, 1)\vDash n, P_v = B = u \cdot T$, Borus.
\begin{definition}
Eine $n \times m$-Matrix $A$ heißt (untere) \underline{unitriangulär}, falls folgendes gilt: $A_{ii}=1, A_{ij}=0\forall i < j$ (allgemeine untere Dreiecksmatrix mit 1 auf der Diagonale), analog obere.
\end{definition}
\begin{lemma}% 2.2.5
Sei $V = F^n, f =(W_1, \ldots, W_n)$ mit $W_i = < e_1, \ldots, e_i >, \xi=(e_1, \ldots, e_n)$ natürliche Basis von $V$. \\
Sei $X$ ein $B$-invarianter Unterraum von $V$, d.h. $bx \in X \forall b \in B, x \in X (\Rightarrow bX = X$. \\
Dann ist $W = W_i$ für ein $1\leq i \leq n$.
\end{lemma}
\begin{bew}
Sei $1\leq k \leq n$ minimal mit $X \subseteq W_k$. Wir zeigen: $X = W_k$. \\
Dann existiert ein $x =\sum\limits_{i=1}^k \alpha_i e_i$ mit $\alpha_k \neq0$ (da $k$ minimal). \\
... $\exists b \in B: b \cdot x = e_k \Rightarrow e_k \in X$\\
Nun ist $(E + e_{k-1,k}) e_k = e_k + e_{k-1}\in X \Rightarrow e_{k-1}\in X$, analog $\forall i \leq k: e_i \in X \Rightarrow W_k \subseteq X \Rightarrow W_k = X$.
\end{bew}
\begin{satz}% 2.2.6
Sei $B \leq H \leq G$. Dann is $H$ eine Standardparabolische Untergruppe, d.h. $\exists\nu\vDash n, H = P_{\nu}$
\end{satz}
\begin{bew}
Sei $X$ ein $H$-invarianter Unterraum von $V$. Dann ist $X$ auch $B$-invariant, wil $B \subseteq H$.
Also gibt es ein $1\leq i \leq n: X = W_i = < e_1, \ldots e_i >, \xi=(e_1, \ldots e_n)$ natürliche Basis wegen 2.2.5. \\
Seien $W_{\alpha_1}, \ldots, W_{\alpha_r}$ mit $1\leq\alpha_1 < \alpha_2 < \ldots < \alpha_r = n$ genau die $H$-invarianten
\chapter{Die spezielle und projektive lineare Gruppen}% 2.3
\underline{Ziel:}$\PSL_n(F)$ ist einfach, falls $n > 2$ oder $n =2$ und $F \neq\GF(2)$ oder $\GF(3)$ ist.
2.3.1 Erinnerung: $\det : \GL_n(F)-> F^\ast: g \mapsto\det g$ ist Gruppenhomomorphismus mit Kern $\SL_n(F)\trianglelefteq G, \SL_n(f)=\set{g \in\GL_n(F)\mid\det g =1}$. \\
2.3.2 Satz: $\SL_n(F)$ wird von den Wurzeluntergruppen (d.h. von den Transvektionen) in $G$ erzeugt. \\
Beweis: Für $1\leq i, j \leq n, i \neq j$, und f+r $\alpha\in F$ ist $x_{ij}(\alpha)\in\SL_n(F)$ nach 2.1.4. \\
In 2.1.5 haben wir gezeigt: Ist $g =(\alpha_{ij})\in\SL_n(F)\subseteq G$, so gibt es ein $u \in U$ (Produkt von Transvektionen) so, dsas gilt: Für $1\leq i \leq n$ gibt es
eine eindeutig bestimmte Zeile $k_i$ in $ug$ so, dass der $i$-te Eintrag in dieser Zeile der erste von 0 verschiedene ist. Die Abbildung $\pi:i \mapsto k_i$ ist Element von $\sigma_n = W$. \\
Wir können diese Zeilen nach 2.1.11 durch ein Produkt $\tilde{\pi}$ von Transvektionen $\tilde{(i,j)}= x_{ij}(1) x_{ji}(-1) x_{ij}(1)$ ( $(i,j)\in\sigma_n$ Transposition) bis aufs Vorzeichen ordnen.
$\Rightarrow$ Man kann $\tilde{g}$ durch Premultiplikation mit einem Produkt von Transvektionen auf die Gestalt $\tilde{g}' =\pmatr{\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n &&&\ast\\&1&&\\&&\ddots&\\0&&&1}=\pmatr{1&&\ast\\&\ddots&\\0&&1}\in U$ bringen. Jedes Element von $U$ ist aber Produkt von Transvektionen (elementare Zeilenoperationen: $\tilde{g}' \rightsquigarrow1$). Also ist $\tilde{g}'$ Produkt von Transvektionen. Also ist $g$ Produkt von Transvektionen.
2.3.3 Satz: Die Wurzeluntergruppen $X_{ij}, 1\leq i, j \leq n, i \neq j,$ sind in $\SL_n(F)$ konjugiert. \\
Beweis: Seien $1\leq i, j \leq n, 1\leq k, l \leq n, i \neq j, k \neq l$. \\
$\sigma_n$ ist $n$-fach transitiv auf $\set{1, \ldots, n}$, also zweifach transitiv $\Rightarrow\exists w \in W =\sigma_n: w(i)= k, w(j)= l$. \\
Haben gesehen: $w X_{ij} w^{-1}= X_{w(i),w(j)}= X_{kl}$. Ist $w$ gerade Permutation, d.h. $\sign w =\det w =1\Rightarrow w \in\SL_n(F)$ und wir sind fertig. \\
Sei also $\sign w =\det w =-1$ und $\alpha in F$. Sei $d = d^{-1}=\pmatr{-1&&&0\\&1&&\\&&\ddots&\\0&&&1}\in\GL_n(F)$. Dann ist $\det(dw)=\det d \cdot\det w =-\det w =1$, d.h. $dw \in\SL_n(F)$. \\
$dw X_{ij}(dw)^{-1}= d (w X_{ij} w^{-1}) d = d X_{kl} d = d (E +\alpha e_{kl}) d = dEd +\alpha d e_{kl} d =\left\{\matr{X_{kl}(\alpha)&\text{für } k,l \neq1\\ X_{kl}(-\alpha)&\text{sonst}, (k \neq l)}\right.$\\
In jedem Fall ist $(dw) X_{ij}(dw)^{-1}= X_{kl}$.
Definition: Sei $Z =\set{\alpha E \mid\alpha\in F^\ast}, E =1$. Dann ist $Z \leq G, G \subseteq Z(G)=$ Zentrum von $G$. \\
2.3.4 Satz: $Z = Z(G)$ und $Z \cap\SL_n(F)= Z(\SL_n(F))$. \\
Es genügt zu zeigen: Jedes Element von $\GL_n(F)$ (bew. $\SL_N(F)$), das mit allen Transvektionen $x_{ij}(1)$ ($1\leq i, j \leq n, i \neq j$) vertauscht, liegt schon in $Z$. \\
Sei $g =(\alpha_{ij})=\sum_{i,j}\alpha_{ij} e_{ij}\in Z(G)\Rightarrow g \cdot x_{rs}(1)= x_{rs}(1)\cdot g \forall1\leq r, s \leq n, r \neq s
\item$F$ algebraisch abgeschlossen $\Rightarrow z :=(\lsup{n}{\sqrt{\det g}}^{-1} E)\in Z, g \cdot z \in\SL_n(F)$, es folgt: $\PSL_n(F)\cong\PGL_n(F)$.
\item$\PSL_2(2)\cong\sigma_3\trianglerighteq A_3$, da $\PSL_2(2)\cong GL_2(2)$\\
2.3.6 Lemma: Sei $n \geq2$; und $\abs{F}\neq2, 3$ für $n =2$. Dann ist jede Tranvektion $x_{ij}(\alpha)$ ($1\leq i,j\leq n, i \neq j, \alpha\in F)$ ein Kommutator von Elementen in $\SL_n(f)$. \\
Beweis: Ist $ n > 2$, dann ist $x_{ij}(\alpha)=[x_{ij}(\alpha), x_{kj}(\alpha)]$ mit $1\leq k \leq n, k \neq i, k \neq j$. \\
Sei $n =2, \beta, \gamma\in F$ mit $\beta\neq0$. \\
$\Rightarrow x_{12}(\alpha)$ ist Kommutator dieser Elemente aus $\SL_2(F)$, falls es $\beta, \gamma\in F$ mit $\beta\neq0$ gibt, so dass $\alpha=(\beta^2-1)\gamma$ ist. \\
Sei $\abs{F} > 3$, dann gibt es immer ein $\beta\in F^\ast$ mit $\beta^2\neq1$ und $\gamma=\alpha(\beta^2-1)^{-1}$. \\
$x_{21}(\alpha)$ ähnlich bzw. ist konjugiert in $\SL_2(F)$ zu einem Element aus $X_{12}$.
2.3.7 Korrolar: Sei $n > 2$ oder $\abs{F} > 3$ für $n =2$. Dann ist $\SL_n(F)=[\SL_n(F), \SL_n(F)]$.
2.3.8 Lemma: Sei $n \leq2$$\SL_n(F)$ operiert auf der $\set{Fv | 0\neq v \in F^n}$ durch $g (Fv) := F (gv)$ (Kern ist das Zentrum). \\
Diese Operation ist 2-fach transitiv. \\
Beweis: Seien $c_1, c_2, d_1, d_2\in F^n\without\set{0}$ und $c_1, c_2$ bzw. $d_1, d_2$ linear unabhängig, d.h. $Fc_1\neq Fc_2, Fd_1\neq Fd_2$. \\
Ergänze $c_1, c_2$ bzw. $d_1, d_2$ zu Basen $\tilde{C}=(c_1, c_2, \ldots, c_n)$ und $\tilde{D}=(d_1, d_2, \ldots, d_n)$ von $F^n$. Sei $C = m_{\id}(\xi, \tilde{C})= m_f(\xi, \xi)$ mit $f(e_i)= c_i$. \\
$D = m_{\id}(\xi, \tilde{D})= m_g(\xi, \xi)$ mit $g(e_i)= d_i$\\
Dann sind $C, D \in\GL_n(F)$. Sei $\epsilon=\det D /\det C =\det(DC^{-1}), A =\pmatr{\epsilon&0\\0&1_{n-1}}, \det A =\epsilon, B = DA^{-1}C^{-1}$, so ist $Bc_1=\epsilon^{-1}d_1, Bc_i = d_i $ für $i > 2$\\
$BFc_i = FBc_i = Fd_i $ für alle $i$. Klar: $\det B =1$, d.h. $B \in\SL_n(F)$\qed.
$\abs{G}= p^a m, p \nmid m, \abs{G}_p = p^a, \abs{G}_{p'}= m $
$\Syl_p(G)\equiv1\mod p $
Beweis: $X =\set{A \subseteq G \mid\abs{A}=\abs{G}_p = p^a }$$G$-Menge \\
Bemerkung: $P \in\Syl_p(G)\Rightarrow P \in X$\\
$ A \in X$ so gibt es ein $g \in G: g \cdot A \ni1$\\
$\abs{X}=\pmatr{p^a \cdot m \\ p^a}=\sum_{O \in\text{$G$-Bahnen von $X$}}\abs{O}$\\
Sei $A \in X, A \in O =$ Orbit von $X$so, dass $1\in A$. Sei $P =\Stab_G(A)\leq G$. Dann ist $P \subseteq P \cdot A = A \Rightarrow\abs{P}\leq\abs{A}= p^a $\\
1.3.7 $\Rightarrow\abs{O}=\abs{G:P}$. \\
Angenommen $p$ teilt nicht $\abs{G:P}$, so ist $\abs{G}_p$ Teiler von $\abs{P}$. Also ist $\abs{G}_p =\abs{P}= p^a$ und $P \in\Syl_p(G)$ und $\abs{O}= m$. \\
Sei umgekehrt $P \in\Syl_p(G)$. Dann ist die $G$-Menge $G/P =\cup g_i P$ mit $\abs{g_i P}=\abs{P}= p^a$, d.h. $G/P$ ist ein Orbit $O$ in $X$: $\abs{O}=\abs{G:P}= m$\\
Klar: $\Stab_G(1\cdot P)= P$\\
Auf diese Weise erhalten wir eine Bijektion zwischen der Menge der $G$-Bahnen in $X' :=\set{A \in X \mid p \nmid\abs{G \cdot A}}$\\
Also ist $X' =$ Vereinigung aller Bahnen $O$ von $X$ mit $p \nmid\abs{O}$\\
$X \without X' =$ Vereinigung aller Bahnen $O$ von $X$ mit $p \mid\abs{0}$ und daher $p \mid\abs{X \without X'}=\abs{X}-\abs{X'}$\\
Also $\abs{X}\equiv\abs{X'}\mod p$\\
Sei $r =\abs{\Syl_p(G)}=$ Anzahl der $p$-Sylow Untergruppen von $G$ = $\abs{\set{\text{Bahnen $O$ von $X$ mit $O \subseteq X'$}}}$. \\
Es gilt dann: $r \cdot m =\abs{X'}\equiv_p \abs{X}\equiv_p \pmatr{p^a m \\ p^a}$\\
$ p \nmid m \Rightarrow r \mod p$ ist nur von $\abs{G}$ und nicht von $G$ selbst abhängig. Das heißt je zwei Gruppen $G$ und $H$ mit $\abs{G}=\abs{H}$ haben $\mod p$ dieselbe Anzahl von $p$-Sylowgruppen. \\
Sei $G = C_{p^a m}$, dann ist $r \equiv1\mod p$, also ist $\abs{\Syl_p(G)}\equiv1\mod p$ für alle $G$ mit $G = p^a m$. Insbesondere ist $r \neq0$, d.h. $G$ besitzt mindestens eine $p$-Sylow Untergruppe. \\
Dies zeigt 1) und 4).
Sei nun $P \in\Syl_p(G), G$ Gruppe der Ordnung $p^a m, p^a =\abs{G}_p, Q \leq G $$p$-Gruppe. \\
$Y =\set{gPg^{-1}\mid g\in G}$. $Q$ operiert auf $Y$ durch Konjugation: \\
$\lsup{x}{(yPy^{-1})}= xyP (xy)^{-1}\in Y$ für $x \in X$.
Sei $O$ ein $Q$-Orbit von $Y$, $P_1\in O$. Dann ist $\abs{O}=\abs{Q : \Stab_Q(P_1)}=$ Potenz von p (möglicherweise $p^0$). \\
Aber $\abs{Y}=\abs{G : N_G(P)}$ Teiler von $m$ (1.3.15) $\Rightarrow p \nmid\abs{Y}$.Also muss es eine $Q$-Bahn $O$ in $Y$ geben mit $p \nmid\abs{O}\Rightarrow\exists Q$-Bahn $O$ in $Y$ mit $\abs{O}= p^0=1\Rightarrow O =\set{P_1}$. Dann ist also $xP_1 x^{-1}= P_1\forall x \in Q$. Daher ist $Q P_1= P_1 Q$ und mit (1.1.4) ist $Q P_1\leq G$\\
Klar ist: $\abs{P_1}\leq\abs{Q P_1}$. Nach 1.3.12 ist $\abs{Q P_1}=\frac{\abs{Q}\abs{P_1}}{\abs{Q \cap p_1}}=\abs{P_1}\abs{Q: Q\cap P_1}$. Also ist $QP_1$ eine $p$-Untergruppe von $G$. \\
Also ist wegen $\abs{P_1}\leq\abs{QP_1}$ die Ordnung $\abs{Q \cdot P_1}$ von $QP_1$ gleich $P_1= p^a$ und daher $\abs{Q \cap P_1}=\abs{Q}\Rightarrow Q \subseteq P_1\in\Syl_p(G)$. Dies zeigt 3).
Seien $Q, P \in\Syl_p(G)\Rightarrow$ (nach vorigem Schritt) $\exists g \in G: Q \leq gPg^{-1}$. Wegen $\abs{Q}=\abs{P}= p^a$ ist $Q = gPg^{-1}$. \qed
2. Beweis für Existenz von $p$-Sylowuntergruppen:
Induktion über $\abs{G}$\\
$\abs{G}=1$ trivial \\
$p \nmid\abs{G}$ trivial \\
$\abs{G}= p^a m$ mit $p \nmid m > 1$, und sei die Behauptung beweisen für alle Gruppen $\abs{H}$ mit $\abs{H} < \abs{G}$. \\
Besitzt $G$ eie echte Untergruppe $H$ mit $p \nmid[G : H]$, so ist jede $p$-Sylowgruppe von $H$ eine $p$-Sylowgruppe von $G$ und wir sind fertig. \\
Ohne Einschränkung gelte $H \lneq G \Rightarrow p \mid[G : H]$\\
Klassengleichung 1.3.13: \\
$\abs{G}=\abs{Z(G)}+\sum\limits_{i=1}^l [G : C_G(g_i)]$ mit $\set{g_1, \ldots, g_l}$ Repräsentanten von Konjugationsklassen von $G$ der Größe $> 1$. \\
Für $1\leq i \leq l$ ist $C_G(g_i)\lneq G$ und daher $p \mid[G : C_G(g_i)]$\\
Also teilt $p \mid Z(G)=$ abelsche Gruppe. Also ist $\abs{Z(G)} > 1$. \\
$\Rightarrow G$ besitzt eine normale Untergruppe $N$ ($\leq Z(G)$) der Ordnung $p$. $\abs{G/N}= p^{a-1}m < p^am \Rightarrow\exists\overline{P}\in\Syl_p(G/N)$\\
Sei $P =$ volles Urbild von $\overline{P}$ in $G \Rightarrow N \trianglelefteq P, P/N =\overline{P}\Rightarrow\abs{P}= p^a \Rightarrow P \in\Syl_p(G)$.
Korrolar: Sei $\abs{G}= p^a m, p^a =\abs{G}_p$. Dann gibt es für $1\leq b \leq a$ eine Untergruppe $H$ von $G$ mit $\abs{H}= p^b$ (Weil $P \in\Syl_p(G)$ eine $p$-Gruppe, daher nilpotent und damit auflösbar ist. Wir können $H \leq P$ wählen!).
3.1.3 Korrolar: $\abs{\Syl_p(G)}$ ist Teiler von $\abs{G}_{p'}=\frac{\abs{G}}{\abs{G}_p}$ ($\abs{G}= p^a m, p \nmid m$) \\
Beweis: $G$ operiert auf $\Syl_p(G)$ per Konjugation transitiv. Also ist $P \in\Syl_p(G)$, so ist $\abs{\Syl_p(G)}=[G : \Stab_G(P)]$. Wegen $P \trianglelefteq N_G(P)\leq G$ ist daher $\abs{\Syl_p(G)}$ Teiler von $m$.
3.1.4 Korrolar: (Cauchy's Theorem) $G$ hat ein Element der Ordnung $p$ ($p \mid\abs{G}$) \\
3.1.5 Satz: Sei $N \trianglelefteq G (N \neq G)$, und sei $P \in\Syl_p(G)$. Dann ist $PN/N \in\Syl_p(G/N)$ und $P \cap N \in\Syl_p(N)$. \\
Beweis: $[G/N : PN/N]=[G : PN]$ wegen 3. Isosatz. $PN/N \cong P/(P\cup N)\Rightarrow PN/N$ ist Gruppe. \\
$p \nmid[G:P]=\abs{G}_{p'}\Rightarrow[G : PN]$ ist Teiler von $m$, wird nicht von $p$ geteilt. \\
$\Rightarrow PN/N \in\Syl_p(G/N)$. \\
Nach 1.3.12 ist $[PN : P]=\frac{\abs{P}\cdot\abs{N}}{\abs{P \cap N}\abs{P}}=\frac{\abs{N}}{\abs{P \cap N}}\Rightarrow$ (nach oben) $P \cap N$ ist $p$-Untergruppe von $N$ mit $[N : P \cap N]$ wird nicht von $p$ geteilt. Also ist $P \cap N \in\Syl_p(N)$. \qed\\
Vorsicht: $H \leq G \nRightarrow H \cap P \in\Syl_p(H)$ für $P \in\Syl_p(G)$
3.1.6 Satz: Sei $H \leq G, P \in\Syl_p(G)$. Dann gibt es $g \in G$ so, dass $g P g^{-1}\cap H \in\Syl_p(H)$ ist. \\
Beweis: Sei $Q \in\Syl_p(H)\Rightarrow\exists P' \in\Syl_p(G)$ mit $Q \subseteq P' \Rightarrow\exists g \in G$ mit $P' = gPg^{-1}\cap H \supseteq Q$\\
3.1.7 Satz ("`$pq$-Theorem"'): Seien $p, q$ Primzahlen mit $p > q$. Sei $G$ Gruppe mit $\abs{G}= p \cdot q$. Dann ist $G$ abelsch (und daher $\cong C_{q \cdot p}\cong C_q \times C_p$) oder $p \equiv1\mod q$. Ist dies so, dann gibt es bis auf Isomorphie genau eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung $p \cdot q$. \\
Beweis: Sei $P \in\Syl_p(G), Q \in\Syl_q(G)\Rightarrow\abs{P}= p, \abs{Q}= q \Rightarrow P \cong C_p \wedge Q \cong C_q$. Wir haben $P \cap Q =(1)$, und daher ist $G = P \cdot Q$ (1.3.12).
Mit 3.1.3 folgt $\abs{\Syl_p(G)}\mid[G:P]$ und mit 3.1.4 $\abs{\Syl_p(G)}\cong1\mod p$\\
$\Rightarrow\abs{\Syl_p(G)}=1=[G : N_G(P)]\Rightarrow N_G(P)= G \Rightarrow P \trianglelefteq G$ ($p > q \Rightarrow q \ncong1\mod p$). \\
Ist $p \ncong1\mod q \Rightarrow$ (analog) $ Q \trianglelefteq G \Rightarrow G = P \times Q$\\
Sei also $p \cong1\mod q$. Sei $G$ nicht abelsch, $\varphi : Q \rightarrow\Aut(P): x \mapsto c_x, c_x: P \rightarrow P: y \mapsto x y x^{-1}$. \\
$\ker\varphi\neq(1)\Rightarrow\ker\varphi= Q \Rightarrow\varphi Q \Rightarrow(1)\leq P$ und $c_x =\id_P \Rightarrow G = P \times Q$, $G$ abelsch. Widerspruch! \\
Also ist $\ker\varphi=(1)$, d.h. $\varphi$ ist injektiv. Sei $P = <g>$. Leicht: Sei $1\leq i \leq p-1$, so induziert $g \mapsto g^i$ einen Automorphismus $\sigma_i$ von $P = C_p = <g>$,
und $\Aut(P)=\set{\sigma_i | 1\leq i \leq p-1}$ ist zyklisch der Ordnung $p-1$.
Nun ist $q \mid p -1$, also hat $C_{p-1}\cong\Aut(C_p)$ eine eindeutige Untergruppe der Ordnung q, und diese ist isomorph zu $C_q \cong Q$. \\
Also: Unter $\varphi$ wird $Q$ auf die \underline{eindeutig bestimmte} Untergruppe der Ordnung $q$ von $\Aut(P)$ abgebildet. \\
Beachte: Ist $\psi: Q \rightarrow\Aut(P)$ ein Monomorphismus, so ist $\im\varphi=\im\psi$, es gibt aber viele Monomorphismen von $Q \rightarrow\Aut(P)$. \\
Für jeden solchen Monomorphismus $\psi$ haben wir eine Gruppe $P \rtimes_\psi Q$. \\
Der nächste Satz zeigt: Alle diesen semidirekten Produkte sind isomorph. Also gibt es in diesem Fall ($p \cong1\mod q$) genau eine nichtabelsche Gruppe der Ordnung $p \cdot q$. \qed
3.1.8 Satz: Sei $H$ zyklische Gruppe, $N$ Gruppe. Seien $\varphi, \psi$ Monomorphismen von $H \rightarrow\Aut(N)$ mit $\im\varphi=\im\psi$. Dann ist $N \rtimes_\varphi H \cong N \rtimes_\psi H$. \\
Beweis: Sei $H = <x>$. Wegen $\varphi(H)=\psi(H)$ ist $<\varphi(x)> = <\psi(x)> \leq\Aut(N)$. Es gibt also $a, b \in\Z$ mit $\varphi(x)^a =\psi(x)$ und $\psi(x)^b =\varphi(x)$.
Für $s \in\Z$ ist dann $\varphi((x^s)^a)=\varphi(x)^{as}=\psi(x)^s =\psi(x^s)$, d.h. $\varphi(h^a)=\psi(h)\forall h \in H$, analog $\psi(h^b)=\varphi(h)\forall h \in H$. \\
Definiere $\tau: N \rtimes_\psi H \rightarrow N \rtimes_\varphi H$ durch $\tau(n \cdot h)= n \cdot h^a$ und $\lambda: N \rtimes_\varphi H \rightarrow N \rtimes_\psi H$ durch $\lambda(n \cdot h)= n \cdot h^b$\\
$\Rightarrow\tau$ (und analog $\lambda$) ist Gruppenhomomorphismus. \\
Nun ist $\tau\lambda : nh \mapsto\tau(n\cdot h^b)= n\cdot h^{ba}$, aber $\varphi(x)=\psi(x)^b =(\varphi(x^a))^b =\varphi(x^{ab})$ und $\varphi$ ist injektiv. Also ist $x = x^{ab}$ und daher $h = h^{ab}\forall h \in H$, also ist $\tau\lambda=\id_{N \rtimes_\varphi H}, \lambda\tau=\id_{N \rtimes_\psi H}$\\
Also sind $\tau, \lambda$ Isomorphismen und $N \rtimes_\varphi H \cong N \rtimes_\psi H$, \qed.
Erinnerung: $A_5$ ist einfach $A_5\leq\sigma_5$, $\abs{\sigma_5}=5!=120\Rightarrow A_5=60=3\cdot5\cdot2^2$.
3.1.9 Satz: Sei $G$ einfach, $\abs{G}=60$. Dann ist $G \cong A_5$. \\
Beweis: Sei $n \in\N$ und $H \lneq G$ mit $[G : H]= n$. Sei $\rho: G \rightarrow\sigma_n$ die Darstellung, die zu der $G$-Menge $G/H$ gehört.
$\Rightarrow\rho$ ist injektiv. Insbesondere ist $\abs{G}=60\leq n!\Rightarrow n \geq5$. \\
Beh: $G$ besitzt eine Untergruppe von $H$ mit $[G : H]=5$. \\
Angenommen, $G$ besitzt keine solche Untergruppe: $\abs{\Syl_2(G)}\neq1$ teilt $3\cdot5=15$, sonst wäre $G$ nicht einfach. Sei $P \in\Syl_2(G)$. Betrachte Möglichkeiten für $\abs{\Syl_2(G)}$: \\
~~ 3: $[G:N_G(P)]=3 < 5$ Widerspruch! \\
~~ 5: $[G:N_G(P)]=5$ Widerspruch zur Annahme \\
Also ist $[G:N_G(P)]=15$ Seien $S_1, S_2\in\Syl_2(G), S_1\neq S_2$. Sei $1\neq t \in S_1\cap S_2$. $V_4= C_2\times C_2, C_4$ sind die einzigen Gruppen der Ordnung $4$.
$\Rightarrow S_1$ und $S_2$ sind abelsch $\Rightarrow\abs{C_G(t)} > 4$ und $4\mid\abs{C_G(t)}$, da $S_1\leq C_G(t)$.
$\Rightarrow[G:C_G(t)]\in\set{1,3,5}\Rightarrow[C:C_G(t)]=1\Rightarrow t \in Z(G)\trianglelefteq G$ Widerspruch zur Einfachheit von $G$. \\
Also hat $G:$$15(4-1)=45$ der Ordnung $2$ oder $4$. Da $G$ einfach ist, gilt für $P \in\Syl_5(G): 1\neq[G:N_G(P)]\mid4\cdot3$ und $[G:N_G(P)]\cong1\mod5$, also nicht $\set{1, 2, 3, 4, 12}$ - also hat $G$ genau $6$$5$-Sylowgruppen, und daher $6(5-1)=24$ Elemente der Ordnung 5. Also ist $\abs{G}\leq45+24 > 60$ Widerspruch. Also hat $G$ eine Untergruppe $H$ mit $[G:H]=5$. \\
Sei wieder $\varphi: G \rightarrow\sigma_5$ die Darstellung auf $G/H$. Diese ist injektiv, so ist $G$ ohne Einschränkung Untergruppe von $\sigma_5$ vom Index 2, da die $\abs{G}=60=\frac{120}{2}=\frac{\abs{\sigma_5}}{2}$. Also ist $G \trianglelefteq\sigma_5$. Angenommen $G \neq A_5\Rightarrow\abs{G \cdot A_5} > 60\Rightarrow G \cdot A_5=\sigma_5$. \\
Nach 1.3.12: $\abs{G \cap A_5}=\frac{\abs{G}\abs{A_5}}{G \cdot A_5}=30$. Also ist $G \cap A_5$ Untergruppe von $G$ vom Index 2 - Widerspruch. Also $G = A_5$.
3.1.10 Korrolar: $\PSL_2(4)\cong\PSL_2(5)\cong A_5$, da $\PSL_2(4)$ und $\PSL_2(5)$ einfach mit Ordnung 60.
Bemerkung: Man kann zeigen: Alle anderen Gruppen $\PSL_n(q)$ sind paarweise verschieden (?). \\
Relativ leichte Übung: Ist $G$ einfach und $\abs{G} < 60$ so folgt $G \cong C_{\abs{G}}$
3.1.11 Satz "`Frattini Argument"': Sei $G$ endliche Gruppe, $N \trianglelefteq G$ und $P \in\Syl_p(N)$, $p$ Primzahl. Dann ist $G = N_G(P)\cdot N$. \\
Beweis: Sei $g \in G$. Wegen $gNg^{-1}= N \trianglelefteq G$ ist $gPg{-1}\subseteq N \Rightarrow gPg^{-1}\in\Syl_p)N)$. Also gibt es $n \in N: n ( gPg^{-1}) n^{-1}= P = ng P (ng)^{-1}$
$\Rightarrow ng \in N_G(P)\Rightarrow g \in n^{-1} N_G(P)\subseteq N N_G(P)= N_G(P) N$. \qed